Mandato dalla famiglia a Genova come apprendista presso un intagliatore, Monteverde frequenta contemporaneamente i corsi di ornato e figura all'Accademia di Belle Arti.  Successivamente si trasferisce a Roma per perfezionarsi, e qui si stabilisce definitivamente. Nel 1879 scolpisce l'opera considerata ben presto come il suo capolavoro “Edoardo Jenner prova sul figlio l'inoculazione del vaccino”. Lo scultore diviene uno dei protagonisti più rappresentativi del gusto dell'Italia borghese, grazie all’ispirazione guidata da un realismo semplice.
Tra le sue opere più note vanno ricordate: “il Pensiero” per il monumento a Vittorio Emanuele a Roma, il Monumento a Mazzini a Buenos Aires, il Monumento a Vincenzo Bellini a Catania. La sua ultima opera è la statua di Giuseppe Saracco del 1917, anno della sua morte.